La réponse au casse-tête de vendredi

Vendredi je vous ai proposé un casse-tête célèbre. Je vous ai dit que je l’avais découvert dans un film. Je ne l’ai volontairement pas cité. Ce film c’était effectivement Las Vegas 21, comme l’a bien vu Marion.

Rappelons l’énoncé :

Imagine que tu es dans un jeu télévisé face à trois portes et que tu dois choisir d'en ouvrir une seule, en sachant que derrière l'une d'elles se trouve une voiture (ou un autre truc que tu aimes) et derrière les deux autres des chèvres (ou un truc qui te laisse indifférent·e). 

Tu choisis une porte, disons la numéro 1, et le présentateur, qui sait, lui, ce qu'il y a derrière chaque porte, ouvre une autre porte, disons la numéro 3, porte qui une fois ouverte découvre une chèvre. Il te demande alors : « veux-tu changer de choix et ouvrir la porte numéro 2 ? ». 

Que fais-tu ? Pourquoi ?

PS : la donnée “le présentateur sait ce qu’il y a derrière chaque porte” est importante car elle sous-entend qu’il ouvrira toujours une porte avec une chèvre. À ce stade intermédiaire du jeu il n’ouvre jamais une porte avec la voiture.

Généralement, les gens se divisent en deux types de réponses : je ne change pas car c’est 50/50 et je change car c’est 2/3 - 1/3.

Mais… vous avez choisi une troisième réponse. À mon grand désarroi/amusement. On va commencer par cette troisième réponse.

“J’aime les chèvres”

Je… je ? Quoi ? 😂

Vous avez été beaucoup en plus ! Comment ça vous aimez les chèvres ? Y’a quoi que vous aimez dans les chèvres ???

On parle bien de cet animal ?

Et puis en plus… une voiture ça permet d’acheter PLEIN de chèvres ! Comme ça a été bien noté :

Si c’est la voiture... je la revend pour acheter des chèvres et monter un élevage

L’école des 50/50

Ceci étant dit, voyons la réponse majoritaire : “je ne change pas mon choix”. Ou alors “ça ne change rien de le changer ou le garder”. En d’autres termes ça veut dire que vous estimez que la probabilité d’avoir la voiture derrière votre porte est désormais passé à 50%.

Voici des exemples de vos réponses :

J'en sais rien, ça laisse une chance sur deux au lieu de trois, et ça me prouve juste qu'une porte que je n'ai pas choisie n'était pas la voiture

Je ne change rien, je me fie à ma première intuition. Le présentateur peut aussi bien proposer de changer pour augmenter mes chances si j’ai choisi une mauvaise porte que pour m’influencer à changer si j’ai choisi la bonne porte.

(Note : non, puisqu’il était précisé qu’il le faisait systématiquement. Que ce soit la bonne ou la mauvaise)

Je garde ma porte

Je garde mon choix initial. J’ai eu beau relire ton explication et les commentaires des autres, je vois une logique plus qu’une autre si ce n’est un 50/50…

La sous-école de l’intuition

Au sein des personnes qui pensent que rien n’a changé, on trouve une sous-catégorie qui semble accorder une grande importance à l’intuition.

Je fonctionne au feeling, donc je reste sur mon choix initial, la probabilité de tomber sur ma préférence restant identique malgré l'illusion donnée par l'ouverture de la porte sur un cadeau sans intérêt pour moi.

Vous me direz que je surinterpète un peu, la personne ne dit pas que c’est parce qu’elle valorise l’intuition. Alors voici une réponse plus tranchée :

Je maintiens mon choix initial. La probabilité est désormais de 50/50, ce qui n’aide pas à choisir, alors je décide de m’en remettre à mon « intuition » de départ.

On a un peu l’idée que l’intuition pourrait être une aide, même légère. Mais parfois c’est encore plus appuyé que ça :

Je reste sur mon choix initial, car si j’ai fait ce choix c’est que c’est mon instinct qui me l’a indiqué.

Ici on a bien l’idée que l’intuition apporte quelque chose. Il faudrait qu’on parle un jour de ce sujet. Peut-être même en format discussion ouverte d’ailleurs. Sur votre rapport à l’intuition au quotidien.

Pour l’instant je laisse ce débat presque en suspens en disant ceci : ici, est-ce une question d’intuition ou plutôt est-ce le biais cognitif qui fait qu’il est très dur de revenir sur un choix ? Le biais qui explique pourquoi on préfère souvent faire un détour plutôt que faire demi-tour.

En ce qui concerne l’intuition, un jour je te partagerai mes découvertes sur ce levier en nous qu’on néglige parfois trop !

L’école “il faut changer de porte”

Il faut changer, c’est un problème classique de proba totalement contre-intuitif, on a l’impression que ça ne change rien si on change ou pas mais si on calcule les probas, on passe de 1 chance sur 3 à 2 sur 3 en changeant de porte.

C’est effectivement la bonne réponse.

Mais, la première fois que j’ai vu ça dans le film j’ai halluciné. Je me suis dit qu’ils racontaient juste n’importe quoi. En plus j’étais dans un avion donc je ne pouvais pas vérifier.

Une fois devant un ordinateur je me suis précipité sur Wikipédia. Ça a d’ailleurs été le début d’une semaine où je n’ai fait que ça : regarder des paradoxes probabilistes sur Wikipédia.

Voilà l’explication…

Il est primordial de comprendre que le présentateur fait systématiquement deux choses : premièrement il ouvre une porte avec une chèvre, deuxièmement il propose de changer.

Ça veut dire qu’il sait où est la voiture. Et qu’il n’essaie pas d’induire en erreur. Il propose de changer à chaque fois.

Cette donnée change TOUT.

Il y aurait 50/50 s’il avait ouvert une porte au hasard. Mais dans ce cas là il y aurait :

Soit une chance sur trois qu’il ouvre la voiture… et j’ai immédiatement perdu. Ça fait 0 chances.

Soit deux chances sur trois qu’il ouvre une chèvre, ensuite j’ai en effet 50/50 comme disent les gens de la première école et ça fait donc une chance sur trois.

On a donc bien une chance sur trois de trouver la voiture.

C’est ce qu’oublie la première école : les chances passent de 33% à 50% parce qu’il est possible que le présentateur ouvre la voiture.

Le présentateur a une info et influe sur l’ouverture

Tu es peut-être encore sceptique et c’est normal. Sache que des mathématiciens ont défendu bec et ongles la réponse “je ne change pas mon choix car c’est 50/50” et qu’il a fallu attendre qu’on crée la simulation informatique pour avoir la réponse définitive.

Certains ont été convaincus avant. Mais d’autres n’ont rendu les armes que face à la simulation par ordinateur. D’autant plus qu’elle est facile à faire donc n’importe qui peut apprendre à la programmer s’il est vraiment motivé.

Alors je ne vais pas te faire la démo mathématique. Déjà parce que je ne maîtrise pas assez les probabilités pour ça. Et notamment le concept de l’inférence Bayésienne qui est d’ailleurs souvent introduit grâce à cet exemple.

Mais aussi parce que si des mathématiciens n’ont pas été convaincus par cette démo… à quoi bon ?

En revanche je vais te donner le raisonnement qui m’a fait basculer. Ce n’est pas une démo, ça repose un peu sur le feeling, l’intuition de la bonne réponse… et sur moi ça marche.

Imagine cette variante…

On imagine le même cas de figure sauf qu’il y a maintenant 100 portes.

99 chèvres, 1 voiture.

Le présentateur, systématiquement, ouvre 98 portes, 98 chèvres. Puis pose la question “est-ce que tu veux changer de porte” ?

Et bien là, ça me paraît évident qu’il faut que je change. J’avais seulement une chance sur 100 de trouver la bonne porte. Là il a ouverte toutes les mauvaises sauf deux. Bah évidemment que c’est la voiture qui est dans l’autre porte. Moi j’ai choisi une chèvre à 99%.

Voilà. C’est la meilleure démonstration sur moi.

J’espère que ça fonctionnera sur toi.

Sinon tu peux toujours tenter la résolution formelle en allant lire la page Wikipédia :

Problème de Monty Hall

Exceptionnellement, j’ai laissé les commentaires ouverts à tout le monde, premium ou pas. Donc si tu veux réagir, fais-toi plaisir en cliquant sur l’icône de la bulle. Ta réaction m’intéresse d’autant plus si tu avais répondu 50/50 vendredi. Est-ce que la démo te parle ? Est-ce que tu restes sur ton intuition ?

Moi, à l’époque, il m’a fallu plusieurs heures à lire et relire jusqu’à tomber sur le truc des 100 portes pour changer mon avis.